מטוס עם מאה מקומות ישיבה מסומנים – חידה קטנה בהסתברות

חבר שלח לי חידה נחמדה שחשבתי לחלוק איתכם:

יהי מטוס עם מאה מקומות ישיבה מסומנים.
הנוסע הראשון נכנס למטוס, מגלה שאיבד את כרטיס הטיסה שלו ולכן מתיישב באופן אקראי באחד ממאה המושבים.
כל נוסע שמגיע אחריו (שני ועד לאחרון) פועל באופן הבא: אם מקומו נתפס כבר, הוא בוחר באקראי מקום פנוי מאלו שנותרו, ואם מקומו פנוי הוא מתיישב בו.
השאלה היא מה הסיכוי שהנוסע האחרון (המאה) ישב במקומו?

התשובה לחידה היא:

.
.
.
.
.
.
.
.
.
בסך הכל 50%. ועכשיו השאלה היא למה.

מסתבר שיש שתי פתרונות מקובלים לחידה הזו (תוכלו לקרוא אותם בקישור כאן). הפתרון שכתבתי לחבר שלי היה פתרון שהוא כנראה סוג של שילוב של שתי הפתרונות, וחשבתי שאולי הוא יהיה מעניין עבור חלקכם:

הדרך שבה פתרתי זאת הוא שבניתי את עץ ההסתברות באופן רקורסיבי עבור המקרה שהנוסע האחרון ישב בכיסא שלו ועבור המקרה שהוא לא ישב בכיסא שלו. מאופן הבניה אנו רואים באופן ברור ששתי ההסתברויות שוות, וזה גורר שכל אחת מהן חייבת להיות חצי.

נתחיל בלבנות את ההסתברות (זה למעשה עץ הסתברות) שהנוסע האחרון ישב בכיסא שלו:
יש סיכוי של 1/100 שהאיש הראשון נופל בכיסא הנכון, ואז בוודאות כל השאר מסתדרים במקום הנכון (ובפרט הנוסע האחרון ישב במקומו).
אם זה לא קורה, אז יש סיכוי של 98/100 שהנוסע הראשון ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של הנוסע האחרון). את זה צריך להכפיל עכשיו בהסתברות של (תפתחו סוגריים) 1/99 שהאיש השני נפל בכיסא הנכון שלו (ואז בוודאות כל השאר מסתדרים במקום הנכון.) או בהסתברות של 97/99 שהוא ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של הנוסע האחרון). וכך ממשיכים הלאה רקורסיבית.
זה יוצר ביטוי מורכב, שלא ברור לי איך מחשבים אותו מתמטית (אם למישהו יש רעיון איך לחשב זאת באופן סגור – תספרו לי).

כעת נחשב את ההסתברות שהאיש שלנו לא ישב בכיסא הנכון:
יש סיכוי של 1/100 שהאיש הראשון נופל בכיסא של הנוסע האחרון, ואז בוודאות הנוסע האחרון לא ישב במקום שלו.
אם זה לא קורה, אז יש סיכוי של 98/100 שהוא ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של עצמו, כי אז כולם יושבים בוודאות בכיסאות שלהם). את זה צריך להכפיל עכשיו בהסתברות של 1/99 שהאיש השני נפל בכיסא של הנוסע האחרון או בהסתברות של 97/99 שהוא ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של עצמו). וכך ממשיכים הלאה רקורסיבית.
והנה אנו רואים שזה יוצר ביטוי מורכב, ששווה לחלוטין לביטוי המורכב שתיארתי קודם!

מכיוון ששני המאורעות משלימים ל- 1, זה אומר שכל אחד מהם חייב להיות שווה ל- 0.5

כאשר מלמדים הסתברות בסיסית לסטודנטים, אפשר להשתמש ברעיון הזה בשביל לתרגל סטודנטים בעצי הסתברות. אפשר להשתמש במספר קטן יותר של כסאות (נאמר 5 במקום 100). ואפשר לנסות וואריאציות (לדוגמא, מה קורה כשיש יותר כסאות מאשר אנשים).